矩阵

矩阵的运算：https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/7646005.html

可以把矩阵看作是一张Excel表格，更抽象来说，是一个二维数组

向量化

将矩阵转换为向量的操作通常被称为 向量化 或 展开。这种操作在很多情况下都非常有用，特别是在机器学习、数据分析、信号处理等领域。以下是将矩阵转换为向量的一些常见作用：

1. 数据存储与传输：当需要将矩阵的数据存储为一维数组或将数据发送给另一个系统时，可以先将矩阵转换为向量。

2. 算法输入：许多机器学习算法和优化算法要求输入数据为向量形式。因此，如果数据最初是以矩阵形式存在的，就需要将其转换为向量才能输入到这些算法中。

3. 减少维度：在某些情况下，将矩阵转换为向量可以帮助减少数据的维度，这有助于简化计算过程，尤其是在涉及高维数据的情况下。

4. 便于操作：将矩阵转换为向量可以使某些数学操作变得更简单。例如，向量化的矩阵更容易进行点积运算或向量运算。

5. 统一数据格式：在处理不同类型的矩阵数据时，将它们全部转换为向量可以提供一致的数据格式，使得后续的处理更加方便。

6. 特征提取：在图像处理和计算机视觉中，图像通常表示为矩阵，将其转换为向量可以作为模型的输入特征。

将矩阵转换为向量

将矩阵转换为向量的方法通常是沿着某一维度“展开”矩阵。最常见的做法是从左到右、从上到下顺序地读取矩阵中的元素，将它们串联起来形成一个向量。例如，给定一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，我们可以得到一个 $mn$ 维的向量 $\mathbf{a}$：

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

转换后的向量 $\mathbf{a}$ 可以表示为：

$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \vdots \\ a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}$$

这个过程也可以使用数学符号来表示，例如：

$$\mathbf{a} = \text{vec}(A) = \begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}$$

这里的 $\text{vec}(A)$ 表示矩阵 $A$ 的向量化操作。

矩阵乘法

$$C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*4 + 2*5 + 3*6 \\ 4*1 + 5*2 + 6*3 & 4*4 + 5*5 + 6*6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32 \\ 32 & 77 \end{bmatrix}$$