向量

向量是具有方向的量

向量的表示

1. 几何表示：向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，而箭头的长度则代表向量的大小（或模）。
2. 坐标表示：在笛卡尔坐标系中，向量可以通过它们在各个坐标轴上的分量来表示。
   例如，在二维空间中，一个向量 $\vec{v}$ 可以表示为 $\vec{v} = (a, b)$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是该向量在 x 轴和 y 轴上的分量；在三维空间中，向量可以表示为 $\vec{v} = (a, b, c)$。

向量乘法

$$C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*1 + 2*2 + 3*3 \end{bmatrix} = 14$$

向量的转置

在表达式 $z = w^T x + b$ 中，符号 $w^T$ 表示向量 $w$ 的转置。转置操作（通常用 $T$ 或者 $^T$ 表示）将行向量变成列向量，或将列向量变成行向量。具体来说，在这个上下文中，转置的作用是确保向量 $w$ 和 $x$ 可以正确地进行点积运算。

转置的数学意义

• 如果 $w$ 是一个列向量，那么 $w^T$ 将其变为一个行向量。
• 如果 $w$ 是一个行向量，那么 $w^T$ 将其变为一个列向量。

在逻辑回归中的应用

在逻辑回归中，假设 $w$ 是一个列向量，而 $x$ 也是一个列向量，则 $w^T$ 将 $w$ 转换为行向量，这样就可以与 $x$ 进行点积运算。点积（或内积）的计算方式是两个向量相应元素的乘积之和。

示例

假设 $w$ 和 $x$ 都是列向量，例如：

$$w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

则 $w^T$ 为：

$$w^T = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & \cdots & w_n \end{pmatrix}$$

然后 $w^T x$ 的计算结果为：

$$w^T x = w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + w_nx_n$$

这个结果是一个标量值，代表了输入特征向量 $x$ 经过权重向量 $w$ 加权后的线性组合。

总结

转置操作确保了向量之间的尺寸匹配，使得点积运算得以进行。在逻辑回归中，这个操作帮助我们计算出一个线性组合值 $z$，该值随后会被送入 sigmoid 函数以得到输出的概率。